有限数学示例

$f (x) = 6 \ln ({(\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2})}^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 1

将分数指数表达式转化为根式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$6 \ln (\sqrt[3]{{(\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2})}^{1}})$

解题步骤 1.2

任何指数为 $1$ 的幂均为底数本身。

$6 \ln (\sqrt[3]{\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2}})$

解题步骤 2

将 $\ln (\sqrt[3]{\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2}})$ 中的参数设为大于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$\sqrt[3]{\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2}} > 0$

解题步骤 3

求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

To remove the radical on the left side of the inequality, cube both sides of the inequality.

${\sqrt[3]{\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2}}}^{3} > 0^{3}$

解题步骤 3.2

化简不等式的两边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2}}$ 重写成 ${(\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2})}^{\frac{1}{3}}$ 。

${({(\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2})}^{\frac{1}{3}})}^{3} > 0^{3}$

解题步骤 3.2.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.2.1

化简 ${({(\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.2.1.1

将 ${({(\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} > 0^{3}$

解题步骤 3.2.2.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} > 0^{3}$

解题步骤 3.2.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2})}^{1} > 0^{3}$

解题步骤 3.2.2.1.2

化简。

$\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2} > 0^{3}$

解题步骤 3.2.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2} > 0$

解题步骤 3.3

求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1

通过把每个因数设为 $0$ 并求解的方式求表达式从负变为正的所有值。

$x^{2} + 2 = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

解题步骤 3.3.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x^{2} = - 2$

解题步骤 3.3.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{- 2}$

解题步骤 3.3.4

化简 $\pm \sqrt{- 2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.4.1

将 $- 2$ 重写为 $- 1 (2)$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

解题步骤 3.3.4.2

将 $\sqrt{- 1 (2)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

解题步骤 3.3.4.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \pm i \sqrt{2}$

解题步骤 3.3.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = i \sqrt{2}$

解题步骤 3.3.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - i \sqrt{2}$

解题步骤 3.3.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

解题步骤 3.3.6

在等式两边都加上 $2$ 。

$x^{2} = 2$

解题步骤 3.3.7

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{2}$

解题步骤 3.3.8

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.8.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \sqrt{2}$

解题步骤 3.3.8.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \sqrt{2}$

解题步骤 3.3.8.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

解题步骤 3.3.9

求解每个因式，以求出绝对值表达式从负数变为正数的值。

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

解题步骤 3.3.10

合并解集。

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

解题步骤 3.4

求 $\sqrt[3]{\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2}}$ 的定义域。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.1

将 $\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x^{2} - 2 = 0$

解题步骤 3.4.2

求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.2.1

在等式两边都加上 $2$ 。

$x^{2} = 2$

解题步骤 3.4.2.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{2}$

解题步骤 3.4.2.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.2.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \sqrt{2}$

解题步骤 3.4.2.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \sqrt{2}$

解题步骤 3.4.2.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

解题步骤 3.4.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

$(- \infty, - \sqrt{2}) \cup (- \sqrt{2}, \sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty)$

解题步骤 3.5

使用每一个根建立验证区间。

$x < - \sqrt{2}$

$- \sqrt{2} < x < \sqrt{2}$

$x > \sqrt{2}$

解题步骤 3.6

从每个区间中选择一个测试值并将其代入原不等式中以判定哪些区间能满足不等式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.6.1

检验区间 $x < - \sqrt{2}$ 上的值是否使不等式成立。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.6.1.1

选择区间 $x < - \sqrt{2}$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = - 4$

解题步骤 3.6.1.2

使用原不等式中的 $- 4$ 替换 $x$ 。

$\sqrt[3]{\frac{{(- 4)}^{2} + 2}{{(- 4)}^{2} - 2}} > 0$

解题步骤 3.6.1.3

左边的 $1.08738037$ 大于右边的 $0$ ，即给定的命题恒为真命题。

真

解题步骤 3.6.2

检验区间 $- \sqrt{2} < x < \sqrt{2}$ 上的值是否使不等式成立。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.6.2.1

选择区间 $- \sqrt{2} < x < \sqrt{2}$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 0$

解题步骤 3.6.2.2

使用原不等式中的 $0$ 替换 $x$ 。

$\sqrt[3]{\frac{{(0)}^{2} + 2}{{(0)}^{2} - 2}} > 0$

解题步骤 3.6.2.3

左边的 $- 1$ 不大于右边的 $0$ ，即给定的命题是假命题。

假

解题步骤 3.6.3

检验区间 $x > \sqrt{2}$ 上的值是否使不等式成立。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.6.3.1

选择区间 $x > \sqrt{2}$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 4$

解题步骤 3.6.3.2

使用原不等式中的 $4$ 替换 $x$ 。

$\sqrt[3]{\frac{{(4)}^{2} + 2}{{(4)}^{2} - 2}} > 0$

解题步骤 3.6.3.3

左边的 $1.08738037$ 大于右边的 $0$ ，即给定的命题恒为真命题。

真

解题步骤 3.6.4

比较各区间以判定哪些区间能满足原不等式。

$x < - \sqrt{2}$ 为真

$- \sqrt{2} < x < \sqrt{2}$ 为假

$x > \sqrt{2}$ 为真

$x < - \sqrt{2}$ 为真

$- \sqrt{2} < x < \sqrt{2}$ 为假

$x > \sqrt{2}$ 为真

解题步骤 3.7

解由使等式成立的所有区间组成。

$x < - \sqrt{2}$ 或 $x > \sqrt{2}$

解题步骤 4

将 $\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x^{2} - 2 = 0$

解题步骤 5

求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

在等式两边都加上 $2$ 。

$x^{2} = 2$

解题步骤 5.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{2}$

解题步骤 5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \sqrt{2}$

解题步骤 5.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \sqrt{2}$

解题步骤 5.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

解题步骤 6

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(- \infty, - \sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty)$

集合符号：

${x | x < - \sqrt{2}, x > \sqrt{2}}$

解题步骤 7

有限数学 示例

有限数学示例